Applications

Les mathématiques autrement

« De toute façon, je n'ai pas la bosse des maths. » Cette phrase, prononcée avec un haussement d'épaules, est peut-être la plus coûteuse du système scolaire : elle transforme une difficulté de méthode en verdict d'identité. La gestion mentale la démonte pièce par pièce. Derrière chaque « blocage » en mathématiques, il y a des gestes mentaux précis — évoquer, comprendre, réfléchir, mémoriser — qui s'observent, se décrivent et s'apprennent. Visite guidée, du calcul mental à la géométrie.

La « bosse des maths » n'existe pas

Le postulat fondateur d'Antoine de la Garanderie s'applique aux mathématiques plus qu'à toute autre discipline : là où l'on croit voir un don, il y a des habitudes mentales efficaces, acquises tôt et devenues invisibles à celui qui les possède. Le « matheux » n'a pas un cerveau spécial : il fait, dans sa tête, des choses précises — il se représente les situations, traduit les énoncés en images ou en discours intérieur, convoque ses acquis au bon moment. Celui qui « n'y arrive pas » ne fait pas ces choses-là, le plus souvent parce que personne ne lui a jamais dit qu'il y avait quelque chose à faire.

Rappelons le concept central : l'évocation, c'est le fait de faire exister mentalement — en images, en mots, en schémas intérieurs — ce que l'on perçoit ou ce que l'on pense (voir L'évocation : la clé de voûte). Or les mathématiques ont une particularité redoutable : elles sollicitent toutes les couches de la vie mentale. La Garanderie les a décrites avec sa grille des paramètres (voir Les paramètres des évocations) :

P1 — les évocations du concret : les objets, les scènes de la vie. C'est le gâteau qu'on partage, les billes qu'on échange.
P2 — les évocations des codes et des automatismes : chiffres, symboles, tables, techniques opératoires.
P3 — les évocations des liens logiques : relations, enchaînements, démonstrations, le « pourquoi » des choses.
P4 — les évocations du nouveau et de l'inédit : problèmes ouverts, recherche, invention de solutions.

Un élève peut être très à l'aise en P2 (calcul impeccable) et démuni en P1 ou P3 : il « sait ses techniques » mais ne voit pas de quoi elles parlent ni pourquoi elles marchent. Un autre comprend tout (P3) mais n'automatise rien (P2) et s'épuise à re-déduire ses tables. Diagnostiquer où se situe la difficulté change complètement l'aide qu'on apporte.

Comprendre une notion : remettre du concret derrière l'abstrait

Le geste de compréhension, chez La Garanderie, consiste à traduire ce qu'on perçoit dans sa langue mentale personnelle (voir Le geste de compréhension). En mathématiques, cette traduction passe presque toujours par un aller-retour entre l'abstraction et des exemples concrets évoqués. La fraction 3/4 reste un hiéroglyphe tant qu'aucun gâteau coupé en quatre, aucun verre aux trois quarts plein, aucune barre de chocolat n'existe dans la tête de l'élève. La notion de fonction s'éclaire quand on évoque une machine : on met un nombre dedans, elle en ressort un autre, toujours selon la même règle — et le graphique n'est que le portrait de cette machine.

Le réflexe à installer chez l'élève est une question : « De quoi ça parle, en vrai ? » Devant toute notion nouvelle, se fabriquer au moins un exemple concret personnel — son exemple-étalon — et le garder en réserve. Les moins-que-zéro ? L'ascenseur qui descend au sous-sol, le thermomètre en hiver. La proportionnalité ? La recette de crêpes qu'on double. La probabilité ? Le sac de billes de couleurs. Ce n'est pas « faire bébé » : c'est nourrir le paramètre P1, socle sur lequel P2 et P3 prennent appui. Les grands mathématiciens eux-mêmes racontent qu'ils pensent avec des images et des exemples avant de rédiger en symboles.

Résoudre un problème : le film d'abord, le calcul ensuite

La résolution de problèmes est le lieu du geste de réflexion : faire retour sur ses acquis pour traiter du nouveau. La Garanderie le décompose en trois temps, que l'école saute presque toujours pour se ruer sur le troisième :

Évoquer la situation. Avant tout calcul, se faire le film ou le schéma du problème : voir le train partir, le réservoir se remplir, les deux enfants comparer leurs billes. Tant que la situation n'existe pas mentalement, on ne résout rien — on pêche des nombres dans l'énoncé et on leur applique la dernière opération apprise, au petit bonheur.
Rappeler les acquis. Interroger sa mémoire : « qu'est-ce que je connais qui ressemble à ça ? quel outil ai-je en rayon ? » C'est un geste actif, pas une attente d'illumination.
Choisir et exécuter. Confronter la situation évoquée et les acquis rappelés, sélectionner l'outil, calculer — enfin.

Le symptôme classique du temps 1 sauté : l'élève qui répond « le berger a 8,5 moutons » sans sourciller. Aucune image de moutons n'a jamais existé dans sa tête ; sinon, le demi-mouton l'aurait fait rire. La consigne réparatrice est simple et doit devenir un rituel : « Raconte-moi le problème sans regarder l'énoncé, comme si c'était une histoire. » S'il ne peut pas, inutile de calculer : on relit, on évoque, phrase par phrase.

Scène : dialogue pédagogique avec Sami, « bloqué » sur les problèmes

Sami, 12 ans, réussit les exercices de calcul et rate systématiquement les problèmes. Un dialogue pédagogique — cet entretien où l'on fait décrire à l'élève comment il s'y prend dans sa tête — met la difficulté au jour :

— Sami, quand tu lis un énoncé, qu'est-ce qui se passe dans ta tête ?
— Je cherche les nombres. Après je cherche s'il faut un plus ou un fois.
— Et l'histoire de l'énoncé ? Le robinet, la baignoire ?
— Je m'en fiche, c'est pour décorer.
— Essayons autre chose. Je te lis l'énoncé, mais tu n'as pas le droit de calculer. Tu dois juste me décrire la scène comme si tu y étais. « Une baignoire de 120 litres se remplit avec un débit de 15 litres par minute… »
— Bon… Je vois une baignoire. Le robinet coule. À chaque minute, ça monte d'un cran… ah mais attends. En fait on demande juste combien de crans il faut pour arriver en haut !
— Et donc ?
— Ben c'est 120 divisé par 15. C'est tout ?! Mais pourquoi on m'a jamais dit de faire le film ?

Personne ne le lui avait dit parce que ceux qui réussissent le font sans le savoir. Sami avait un projet de « trouver l'opération » ; il lui manquait le projet d'évoquer la situation. Trois semaines de rituel « raconte d'abord, calcule ensuite », et les problèmes ont cessé d'être une loterie.

Géométrie : l'espace mental à l'ouvrage

La géométrie sollicite frontalement l'espace mental : voir la figure dans sa tête, la faire tourner, la compléter, imaginer la médiatrice qu'on n'a pas encore tracée. Or La Garanderie a montré que nous n'habitons pas tous notre pensée de la même façon : certains la structurent dans l'espace, d'autres dans le temps, en déroulé successif (voir Espace et temps mentaux). L'élève « temps » face à une figure est comme un lecteur devant une partition d'orchestre : tout est donné d'un coup, rien ne se déroule. Sa ressource : temporaliser l'espace — transformer la figure en programme de construction (« d'abord je trace le cercle, puis la corde, puis… »), se raconter la figure comme une histoire, la construire réellement pour en sentir la genèse. Inversement, l'élève très « espace » gagnera à spatialiser les déroulés : frises, schémas fléchés, plans de démonstration.

Exercice royal pour muscler l'espace mental : la géométrie mentale. « Ferme les yeux. Trace mentalement un carré. Ajoute une diagonale. Combien de triangles ? De quelle nature ? » Cinq minutes par jour, et les figures se mettent à exister dans les têtes.

Mémoriser les tables : un rendez-vous avec l'avenir

Les tables de multiplication relèvent du geste de mémorisation, dont le ressort est l'imaginaire d'avenir : on ne retient que ce qu'on se donne à réutiliser dans une scène future. Réciter sa table dans l'ordre, le soir, produit une mémoire de comptine : l'élève sait « la chanson » mais met huit secondes à retrouver 7 × 8 en plein calcul. Le protocole en gestion mentale : évoquer chaque résultat isolément (revoir « 7 × 8 = 56 » écrit dans sa tête, ou se l'entendre dire), en s'imaginant en train de s'en servir demain, en classe, au milieu d'une division ; puis vérifier dans le désordre, dans les deux sens (« 56, c'est quoi ? »), et réactiver le lendemain et trois jours plus tard. La différence avec la récitation-comptine est spectaculaire.

Scène : Claire, 34 ans, se réconcilie avec les maths

Claire prépare un concours administratif ; l'épreuve comporte des tests numériques. Panique : « je suis nulle en maths depuis la cinquième ». Sa formatrice ne lui donne pas d'exercices tout de suite ; elle commence par un dialogue :

— Quand je dis « pourcentage », que se passe-t-il dans votre tête ?
— Un mur gris. Franchement, rien. De l'angoisse.
— Et si je dis « soldes, moins 30 % sur une robe à 50 euros » ?
— Ah, là je vois l'étiquette ! 30 %, c'est presque un tiers… la robe fait dans les 35 euros.
— Vous venez de faire un calcul de pourcentage de tête. Votre difficulté n'est pas le calcul : c'est que « pourcentage » à l'école n'a jamais rejoint « soldes » dans votre vie.

Le travail consistera précisément à cela : reconnecter chaque notion du concours à des évocations concrètes qu'elle possède déjà (P1), puis remonter vers les techniques (P2) et les raisons (P3). Claire découvre — comme beaucoup d'adultes — que « la bosse des maths » qu'on lui a refusée enfant était en réalité une méthode qu'on ne lui avait pas transmise. Elle a eu son concours.

Tous les enfants peuvent réussir, affirme La Garanderie dès le titre d'un de ses livres : l'échec n'est pas le signe d'une nature déficiente, mais celui de moyens d'apprendre qui n'ont pas encore été découverts.
Antoine de la Garanderie et Geneviève Cattan, Tous les enfants peuvent réussir, Le Centurion, 1988.

Pour aller plus loin

Les paramètres des évocations — la grille P1-P4 utilisée dans tout cet article.
Le geste de réflexion — la mécanique complète de la résolution de problèmes.
Le geste de compréhension — pourquoi comprendre, c'est traduire dans sa langue mentale.
Espace et temps mentaux — indispensable pour comprendre les difficultés en géométrie.
Le geste de mémorisation — l'imaginaire de l'avenir, appliqué ici aux tables.

Sources principales : Antoine de la Garanderie, Les profils pédagogiques (Le Centurion, 1980) ; Pédagogie des moyens d'apprendre (Le Centurion, 1982) ; Antoine de la Garanderie et Geneviève Cattan, Tous les enfants peuvent réussir (Le Centurion, 1988).

Dans la base documentaire : présentation synthétique de la gestion mentale (document praticien) ; A. de Peretti, recension des Profils pédagogiques, Revue française de pédagogie, 1981 ; Lettre d’IF n° 99, pratiques et recherches en pédagogie des gestes mentaux. Documents réunis dans docs/, avec catalogues détaillant sources et droits.